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第一节 导数的概念及运算 重点、难点回顾: 1. 平均变化率 一般地,函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为 . 2. 函数f(x)在xx0处的导数 设函数f(x)在区间(a,b)上有定义,xy0(a,b),当x无限趋近于0时,比值 ,无限趋近 于一个常数A,则称f(x)在点xxx0处可导,并称该常数A为函数f(x)在点xx0处的 ,记 作 . 3. 导函数(导数) 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为 ,记作 . 4. 导数的几何、物理意义 (1)导数f'(x0)的几何意义就是曲线f(x)在点(x0,f(x0)处的 . 即k=f(x0). (2)设s=s(t)是位移函数,则s'(t0)表示物体在t=t0时刻的____. (3)设v=v(t)是速度函数,则v'(t0)表示物体在t=t0时刻的____. 5. 基本初等函数的导数公式 (1)C' (C为常数);(2)(xn)' (nQ);(3)(sinx)' ;(4)(cosx)' ; (5)(ex)' (6)(ax)' ;(7)(lnx)' ;(8)(log'ax) . 6.导数的四则运算法则 (1)f(x)g(x)= ;(2)f(x)g(x)= ; (3)cf(x)=_ (c为常数);(4)f(x)g(x)= (g(x)≠0). 7.复合函数的导数 一般地,设函数u(x)在点x处有导数u'x'(x),函数yf(u)在点x的对应点u处有导数y'uf'(u),则复合函数yf(x)在点x处有导数,且 或写作 . 这就是复合函数的求导法则,即复合函数对自变量的导数,等于 . 例1.求下列函数的导数: (1)f(x)25x513x34x26; (2)f(x)(x4)(2x1)2; (3)f(x)ln(2x3); (4)f(x)x+cosxx+sinx. 练习1(1)f(x)23121sinx3x2x6x3; (3)f(x)1cosx; (2)f(x)ln(43x) 例2.已知函数f(x)x3x16, (1)求曲线yf(x)在.点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线l为曲线yf(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标。 练习: (1)求曲线yx33x2在点(1,2)处的切线方程; (2)变式:例2(1)改为求过.点(2,-6)的切线方程. 体验高考: 1.(2009全国Ⅱ)曲线在点(1,1)处的切线方程是( ) A.xy20 B.xy20 C.x4y50 D.x4y50 2.(2011江西)曲线yex在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A.1 B.2 C.e D.1e 课后练习: 1.曲线yx33x21在点(1,1)处的切线方程为 ( ) (A)y3x4 (B) y3x2 (C)y4x3 (D)y4x5 2.已知质点运动的方程为s410t5t2,则该质点在t4时的瞬时速度为 ( ) (A)60 (B)120 (C)80 (D)50 3.设点P是曲线yx33x35上的任意一点,点P处切线的倾斜角为,则角的取值范围是 (A)[0,23] (B)[0,2][23,) (C)(2,23] (D)[23,3] 4.曲线y4xx2上两点A(4,0),B(2,4),若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB,则点P的坐标为(A)(1,3) (B)(3,3) (C)(6,12) (D)(2,4) 5.若函数f(x)x2bxc的图象的顶点在第四象限,则函数f(x)的图象是( ) yyyy o x xO o xo x (A)(B)(C)(D)6.已知曲线yf(x)在x2处的切线的倾斜角为34,则f(2) ,[f(2)] . 7.设函数f(x)的导数为f(x),且f(x)x22xf(1),则f(2) 8.已知曲线S:y2xx3 (1)求曲线S在点A(1,1)处的切线方程;(2)求过点B(2,0)并与曲线S相切的直线方程. - 1 - 导数的运算 一、求下例函数得到函数 x1.f(x)ex1ax 2.f(x)(xk)2ek 3.fxxkex f(x)lnxa(1a)x22(1a)x 二.1设函数f()xx32ax2bxa,gx()x23x2,其中xR,a、b为常数,已知曲线yf(x)与yg(x)在点(2,0)处有相同的切线l。 (I) 求a、b的值,并写出切线l的方程; 2.设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切斜线率为2. (I)求a,b的值; 3.已知函数f(x)alnxx1bx,曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30。 (Ⅰ)求a、b的值; 4.设f(x)xaxbx的导数f'(x)满足f'()a,f'()b,其中常数a,bR。 (Ⅰ)求曲线yf(x)在点(,f())处的切线方程; 5. 设的导数为,若函数的图象关于直线对称,且 .](Ⅰ)求实数,的值; 三、1.全国Ⅰ文(4)曲线yx22x1在点(1,0)处的切线方程为( ) (A)yx1 (B)yx1 (C)y2x2 (D)y2x2 2.湖南文7.曲线ysinx1sinxcosx2在点M(4,0)处的切线的斜率为( ) A.122 B.12 C.22 D.2 3.全国Ⅱ理(8)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为 (A)13 (B)12 (C)23 (D)1 4.重庆文(3)曲线在点,处的切线方程为 ( ) (A) (B) (C) (D) - 2 - 本文来源:https://www.dywdw.cn/d787f44b5aeef8c75fbfc77da26925c52dc5916d.html