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鸡兔同笼问题讲解及习题 例1:小可数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问:小可家的鸡与兔各有多少只? 分析:假设16只都是鸡，那么就应该有2×16=32(只)脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32=12(只)脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。 如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。 解:有兔(44-2×16)÷(4-2)=6(只) 有鸡16-6=10(只)。 答:有6只兔，10只鸡。 当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16=64(只)脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64-44=20(只)脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2=2(只)。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。有鸡(4×16-44)÷(4-2)=10(只)，有兔16-10=6(只)。 由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡;也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。 例2:100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问:大、小和尚各有多少人? 分析与解:本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。 假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300-140=160(个)。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3-1=2(个)，因为160÷2=80，故小和尚有80人，大和尚有100-80=20(人)。同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。 在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。 例3:彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问:两种文化用品各买了多少套? 分析与解:我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。 假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16=304(元)，比实际多304-280=24(元)，现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19-11=8(元)，所以买普通文化用品 24÷8=3(套)，买彩色文化用品 16-3=13(套)。 例4:鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问:鸡、兔各多少只? 分析:假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200-20=180(只)。 现在以免换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而180÷6=30，因此有兔子30只，鸡100-30=70(只)。 解:有兔(2×100-20)÷(2+4)=30(只)，有鸡100-30=70(只)。 答:有鸡70只，兔30只。 例5:现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问:大、小瓶各有多少个? 分析:本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。 解:小瓶有(4×50-20)÷(4+2)=30(个) 大瓶有50-30=20(个)。 答:有大瓶20个，小瓶30个。 例6:一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨? 分析:要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。 利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144(吨)。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9(辆)小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9=16(吨)。由此可求出这批钢材有多少吨。 解:4×36÷(45-36)×45=720(吨)。 答:这批钢材有720吨。 例7:乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问:搬运过程中共打破了几只花瓶? 分析:假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120(元)。 实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5(元)。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24+1.26=1.5(元)。因此共打破花瓶4.5÷1.5=3(只)。 解:(0.24×500-115.5)÷(0.24+1.26)=3(只)。 答:共打破3只花瓶。 例8:小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下? 分析与解:利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12×(2+3)=60(下)。可求出小乐每分钟跳几下? (780-60)÷(2+3+3)=90(下)，小乐一共跳了90×3=270(下)，因此小喜比小乐共多跳780-270×2=240(下)。 本文来源：https://www.dywdw.cn/d617d5c1e0bd960590c69ec3d5bbfd0a7856d5b9.html
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2024-03-29
