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举例说说数学思想在现实生活中的运用 张喜桂 米占郡 【内容提要】建模、数形结合、化归与转化、归纳推理等数学思想，广泛地运用于现实生活中，可以化解难以解决的问题，形成理性的思维体系，促使人们在实践中思考、研究数学，用数学思想有效地解决现实生活中的问题。 【关键词】数学思想 举例 现实生活 应用意识和技能 美国教育家杜威把教育定义为：“教育乃是社会生活延续的工具。”他强调“社会的改造要依靠教育的改造。”①辩证地指出了教育对社会生活产生的巨大作用。诚然，教育的每一个环节、每一门学科，都在以它不同的功能解决现实生活中的问题，从而促进社会的发展。就数学而言，我们生活的每一刻、每一处，都离不开数学和数学思想。例如孩子在具备了完整的意识后，就懂得“家里有3口人”、“房子是方的”如此概念；正常人从会算数起到年老，都知道拿用10元钱买8元的东西应该找回2元的道理，即便不读书的人也懂得；木工师傅即使不了解“直线的基本性质”也知道压住线斗的两端弹出一条直线，等等。 广袤的世界、繁杂的社会现象，从事物的外形构造到内部功能、从逻辑思维到世界观的形成，每一个环节都渗透着、充斥着数学思想方法。 所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。主要有：建模思想、数形结合思想、统计思想、比较思想、变换思想、分类讨论思想、类比思想、归纳推理思想、隐含条件思想、图形运动思想、化归与转化思想、方程与函数思想等等。 下面举例说说数学思想在现实生活中的运用。 一、建模思想的运用 所谓数学建模思想，就是用数学语言把实际问题概括的表述出来的一种数学结构，它是对客观事物的一种空间形式和数量关系的一种反映。它的基本结构是：把实际问题抽象为数学模型，经过演算得出数学模型的解，再推理出实际问题的解，最后回归解决实际问题。我们可以通过下面图框表述： 这种模式的构建过程，其实渗透了一种思维过程，即由生活现象引发假设→进行推理论证→得出一种规则和真理→应用这一规则和真理。例如，投篮球过程中最高点应该是多少米才能准确落入篮圈？有些人经过反复地实验、观察、思考，头脑里产生了抛物线的影像，然后利用抛物线的性质，根据个人身高和篮板到地面距离等条件，计算出抛掷最高点，以这一结论指导学生在实践中巩固、活动。这一过程，实际上就是运用数学建模思想解决相关实际问题的过程。 这个过程还可以动态地延伸，拿上例来说，有心人还会进一步做出思考：如何利用抛物线在投掷篮球的应用中，更深层次地拓展到计算“根据市场变化、消费者等条件调整商品销售的数量，达到利润的最大化。”为此，数学建模思想不仅仅能够解决实际生活中的问题，而且更深层次地构建了一种完整的思维体系。 二、数形结合思想的运用 “数形结合”在教学中就是对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答；在实际生活中就是借助图形直观出数据难以说明的问题，借助数据解决图形无法测算和推理的问题。从这个意义上看，数形是紧密结合的，“数无形，少直观；形无数，难入微”。依数据绘图，可化抽象为直观；根据图形求数，让实际问题更能得出准确的数据定位。 例如：为测量一池塘难以达 到的两端的A、B距离，可以以图形设计 出所示的方案：可以在池塘外能直接到达 A、B的地方找一点C，分别度量出BC、AC 的距离，再分别延长AC、BC到点D、E，使 得DC=AC，EC=BC。利用全等三角形的性质。量出DE的长也就是AB长。这可以说是“以图计数”的办法。再如，设计办公楼建设图纸时，按照事先给出的结构和造型方案，根据一组数据绘图。如楼体的长(a米)、宽(b米)、高(h米)，门窗的形状(长方、扇形等)，图案造型（群星状、阶梯状等），在一定数据的基础上，由数字导引图形的大小、结构等，然后方可绘制出准确的图形。将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，渗透了抽象思维与形象思维的辩证结合。由形到数，便于测量和计算；由数到形，便于整合和造形。数形结合，使所要研究的问题化难为易，化繁为简，从而满足了实际生活的需要。 三、化归与转化思想 化归与转化的思想,就是在研究和解决数学问题时，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件等，通过变换，加以转化,进而达到解决问题的目的。 化归思想可以将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题B达到解决问题A的方法。化归的原则有化未知为已知、化繁为简、化难为易、降维降次、标准化等。 转化思想在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题。三角函数、几何变换、因式分解、解析几何、微积分，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想。常见的转化方式有：一般——特殊转化，等价转化，复杂——简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。 举例子说明化归和转化思想的运用。 化归：解方程：--6=0 可以通过化归思想，设= ，则原方程可以化为：--6=0解得=3，=-2 当=3时=3，=±.当=-2时=-2无实根，所以原方程的解为=，=-. 转化：有一水池，水面是一个边长10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，他该出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？可以实际问题转化为直角三角形（如图）,根据勾股定理求得水的深度和这根芦苇的长度。 这种数学思想在解决生活实际问题中常常遇见。 四、归纳推理思想的运用 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳)。 如，生活中的农谚“一场春雨一场暖，一场秋雨一场寒” “朝霞不出门，晚霞行千里”都是通过归纳推理得出来的。 归纳推理思想，在数学实践中也有广泛的体现。牛羊圈的栅栏，做成三角形就显得坚固，尽管是经验之谈，没有上升为理论，但这种思想依旧体现了“三角形具有稳定性”数学公理。建造大型铁塔，乃至后来的奥运场馆“水立方”等建筑也运用了这一原理。由特殊实例到一般理论，由大自然现象导出科学，强化和提升的数学的生活化意识，让我们觉得“有土、有根”，并且散发“数学就在身边的亲切感”，真正凸显了归纳推理的作用。 另外，统计思想、比较思想、变换思想、分类讨论思想、类比思想、隐含条件思想、图形运动思想、方程与函数思想等，与我们的实际生活息息相关的，这里不一一举例说明。 本文来源：https://www.dywdw.cn/d40e0b8a814d2b160b4e767f5acfa1c7aa0082ad.html
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2023-01-02
