【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《2018年全国高中数学联合竞赛A》,欢迎阅读!
. - 2018年全国高中数学联赛竞赛 一、 填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分。 1.设集合A{1,2,3,…99},B{2x|xA},C{x|2xA},则BC的元素个数为______. 2.设点P到平面的距离为3,点Q在平面上,使得直线PQ与所成角不小于30且不大于60,则这样的点Q所构成的区域的面积为______. 3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为a,b,c,d,e,f,则abcdef是偶数的概率为______. x2y24.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别ab是F1、F2,椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴,且相交于点P。已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6,则PF1F2的面积为______. 5.设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数,在区间[0,1]上严格递减,且满足1x2的解集为______. f()1,f(2)2,则不等式组1f(x)26.设复数z满足|z|1,使得关于x的方程zx22zx20有实根,则这样的复数z的和为______. 7.设O为ABC的外心,若AOAB2AC,则sinBAC的值为______. 8.设整数数列a1,a2,…,a10满足a103a1,a2a82a5,且ai1{1ai,2ai},i1,2,…,9,则这样的数列的个数为______。 二、 解答题:本大题共3小题,满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 |log3x1|,0x9,9.(本题满分16分)已知定义在R上的函数f(x)为f(x) x94x,设a,b,c是三个互不相同的实数,满足f(a)f(b)f(c),求abc的取值围。 10.(本题满分20分)已知实数列a1,a2,a3,…满足:对任意正整数n,有an(2Snan)1,其中Sn表示数列的前n项和。证明: 1)对任意正整数n,有an2n; 2)对任意正整数n,有anan11。 11.在平面直角坐标系xOy中,设AB是抛物线y4x的过点F(1,0)的弦,AOB的外接圆交2抛物线于点P(不同于点O,A,B)。若PF平分APB,求|PF|的所有可能值。 加试(A卷) 一、 (本题满分40分)设n是正整数,a1,a2,,an,b1,b2,…,bn,A,B均为正实数,满足aibi,aiA,i1,2,…,n,且b1b2…bna1a2…anB。 A- 可修编- . - 二、 (本题满分40分)如图,ABC为锐角三角形,ABAC,M为BC边的中点,点D和E分别为ABC的外接圆BAC和BC的中点,F为ABC的切圆在AB边上的切点,G为AE与BC的交点,N在线段EF上,满足NBAB。 证明:若BNEM,则DFFG。(答题时请将图画在答卷纸上)三、 (本题满分50分)设n,k,m是正整数,满足k2,且nm2k1n。k 设A是{1,2,…,m}的n元子集。证明:区间(0,n)中的每个整数均可表k1示为aa,其中a,aA。 四、 (本题满分50分)数列{an}定义如下:a1是任意正整数,对整数n1,an1是与ai互素,且不等于a1,…an的最小正整数。证明:每个i1n正整数均在数列{an}中出现。 - 可修编- 本文来源:https://www.dywdw.cn/a8a2e6968c9951e79b89680203d8ce2f016665e3.html