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内心、外心、重心、垂心定义及性质总结 内心、外心、重心、垂心 1、内心 （1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 （2）三角形的内心的性质 ①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 ②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ③s=(r是内切圆半径) ④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． ⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/2 2、外心 （1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。 （2）三角形的外心的性质 ①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 ③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 ④OA=OB=OC=R ⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA ⑥S△ABC=abc/4R 3、重心 （1）三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。（2）三角形的重心的性质 ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 ③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 ④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 ⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 ⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 4、垂心 （1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。 （2）三角形的垂心的性质 ①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 ②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 ③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上 ④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF ⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 ⑥△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。 ⑦在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC ⑧三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 ⑨设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 ⑩锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半 本文来源：https://www.dywdw.cn/a1bf5d9f66ce0508763231126edb6f1aff0071bf.html
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2022-03-21
