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三角形的边角之间关系 （1）三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°）； （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； （4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. （6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. （7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等. （9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。 （10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 （11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。 （12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。 注意: ①三角形的内心、重心都在三角形的内部 . ②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。 ③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。） ④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。 三角形相关定理 重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍． 上述交点叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点． 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点． 这点叫做三角形的垂心. 内心定理 三角形的三内角平分线交于一点． 这点叫做三角形的内心. 旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心． 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心． 它们都是三角形的重要相关点． 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 勾股定理 在Rt三角形ABC中，A≤90度，则 AB·AB+AC·AC=BC·BC 梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 证明： 过点A作AG∥BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 塞瓦定理 设O是△ABC内任意一点， AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明： ∵△ADC被直线BOE所截， ∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ① 而由△ABD被直线COF所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1② ②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F， 根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ 本文来源：https://www.dywdw.cn/96d6342ded630b1c59eeb538.html
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2023-02-26
