椭圆的经典知识总结

2023-02-17 10:08:13 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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椭圆的定义:平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1PF22aF1F2) ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若(PF1PF2F1F2)，则动点P的轨迹为线段F1F2；若(PF1PF2F1F2)，则动点P的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程

1．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：x2

y2a2



1(ab0，其中c2a2b2 b

2)2．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：y2x2

a2b

2

；

a2

b2

1(ab0)

，其中c

2

注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

2．在椭圆的两种标准方程中，都有(ab0)和c2

a2

b2

；

3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时椭圆的焦点坐标为(c,0)，(c,0)；

当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c)，(0,c)

知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：

x2y2

a2b

21(ab0)的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程x2

2

a2



y1(ab0)： b

2说明：把x换成x、或把y换成y、或把x、y同时换成x、y、

原方程都不变，所以椭圆x2a2

y2

b2

1是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线xa和yb所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满

足xa，yb。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆x22

a2yb

2

1(ab0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐

标分别为 A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0,b)，B2(0,b)

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1A22a,B1B22b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e2c2a

c。

a

②因为(ac0)，所以e的取值范围是(0e1)。e越接近1，则c就越接近a，从而ba2c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ab时，c0，这时两个焦点

重合，图形变为圆，方程为22

x2y2a。注意椭圆xy22

1的图像中线段的几何

特征（如下

ab

图）：（1）(PF

1

PF22a)；

PF；

1PM2

2a2PM

PF2c

)； 1

PMe

(PM12

（2）(BF1BF2a)；(OF21OF2c)；A1BA2Bab2；（3）A1F1A2F2ac；A1F2A2F1ac； acPF1ac；知识点四：椭圆x

2

y2

与 y22b0)的区别和联系

a2



b21a2xb2

1(a2标准方程

xy2 (ab0)

y2x2

a2b

21a2b

21 (ab0)

图形

焦点 F1(c,0)，F2(c,0)

F1(0,c)，F2(0,c)

焦距

F1F22c

F1F22c

性质范围

xa，

yb

xb，ya

对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点

(a,0)，(0,b)

(0,a)，(b,0)

轴长长轴长=2a，短轴长=2b 离心率 e

c

a

(0e1) 准线方a2

x

y

a2程

c

c

2

注意：椭圆x22

y1，yx

2

221(ab0)的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有a2b

2

ab(ab0)

和ec(0e1)，a2b2c2a

；

不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。

规律方法： 1．如何确定椭圆的标准方程

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2．椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义

椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大

小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：

(ab0)，(ac0)，且(a2b2c2)。可借助右图理解记忆：显然：a,b,c恰构成一个直角

三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2

，y2

的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程Ax2By2

C(A,B,C均不为零）是表示椭圆的条件方程Ax2By2

C可化为Ax

2

，即

，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表

C



By2

C

1x2By2

CC1AB

示椭圆。当C

C时，椭圆的焦点在x

轴上；当CA



B

C时，椭圆的焦点在y轴上。

A

B

5．求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆x2

y20)共焦点的椭圆方程可设为

x2a2b2

1(abamy2b2

m

1(mb2

)，2此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：

① 若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y轴对称； ② 若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x轴对称；

③ 若把曲线方程中的x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。 8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题

思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式SPF1F2

1

2

PF1PF2sinF1PF2相结合的方法进行计算解题。将有关线段PF1、

PF2、F1F2，有关角F1PF2 (F1PF2F1BF2)结合起来，建立PF1PF2、PF1PF2之间的关系.

9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e

ca

(0e1)，因为c2a2b2

，ac0，用a、b表示为e1(b)2

(0e1)。显然：当

b

a

a

越小时，e(0e1)越大，椭圆形状越扁；当b

a

越大，e(0e1)越小，椭圆形状越趋近于圆。 1. 椭圆的定义：（1）椭圆：焦点在x轴上时x2y2222



xacosa2b21（abc）

ybsin（参数方y2x2程，其中为参数），焦点在y轴上时ab

＝1（ab0）。方程Ax2By2

22C表示椭圆的充

要条件是什么（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

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