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数形结合的策略 数形结合是中学数学极为重要的一种数学思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数、以数析形”来解决数学问题．如何有效实现数形结合？ 一、知识整合是实现数形结合的重要基础 1．实数与数轴上的点的对应关系； 2．有序实数对与直角坐标系中点的对应关系； 3．函数与其图像的对应关系； 4．方程与曲线的对应关系； 5．以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如向量、空间点的坐标、三角函数等； 6、所给的等式或代数式的结构有明显的几何意义． 二、把握特性是实现数形结合的重要环节 1.准确性． 几何图形要准确，过哪些特殊点、对称特征、单调性、与某直线无限接近等要正确、全面反映在图形中，千万不可随意而画；“数”的精确计算更是不可轻视． 2.等价性． 数形之间的沟通、转化要遵循等价原则．以形助数时，“数”的范围不能扩大缩小，以数辅形时“形”的样子不能走样． 3.双向性． 既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求．当图形不能精确刻画数量关系时，就得利用“数”的精确性和规范严密性来解决；当“数”的转化难以突破时，可借助形的直观性、生动性阐明数之间的联系． 三、寻求关系是实现数形结合的重要途径 1．“形”中觅“数”，从图形中寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题得到解决． ①借助函数的图像或方程的曲线研究其性质． ②向量的坐标运算． ③立体几何的研究，可利用空间直角坐标系． ④解析法等． 例1 已知 和点m 满足，若存在实数m 使得 成立，则 m=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 解：建立如图所示直角坐标系设 B(xb,0) , C(xc,yc)M(x,y) 2．“数”中扬“形”，在有关数的问题上通过观察发现所具有的某种几何特性，建立数与形的新关系，将代数问题转化为几何问题，使问题更具直观性． ①代数式的几何意义 a、表示数轴上两点间距离． b、表示点(x0,y0) 到直线Ax+By+c=0 距离的倍． c、 表示点(x,y) 与点(m,n) 间距离． d、z=mx+y 表示直线y=-mx+z 在 y轴上截距． e、表示点(x,y) 与点(m,n) 连线斜率． f、 表示 f(x)图像与 x轴、直线x=a直线x=b 、 所围成图形面积． ②等式（如 ）f(-x)=f(x)或不等式成立刻画图形的对称性、单调性等． ③解方程或不等式，通过构造函数，转化为研究两函数图像的交点的横坐标或两图上下位置关系问题． ④二元不等式与线性规划、可行域有关． ⑤研究一些代数式的最值、参数的范围，由其结构特征，构造出与之相应的几何图形，分析图形特点和其变化规律（相切、垂直、平行等）求解． 例2：求函数 的最值 解： 而 u是直线y=-x+u 在轴上的截距，如图，由直线与椭圆相切于第一象限得 3．“数”、“形”结合，用“形”分析“数”，用“数”研究“形”，相互结合，互为补充，做到胸中有“图”，心中有“数”，使问题直观、简洁． 例3：已知函数 f(x)=-x2+8x的图像与g(x)=6lnx+m 的图像有且只有三个不同的交点，求实数m 的取值范围． 解：令 h(x)=g(x)-f(x) 即研究h(x)=6lnx+x2-8x+m(x>0) 的图像与 x轴的正半轴有且只有三个不同的交点 ∴h(x) 在(0,1) 上递增，在(1,3) 上递减，在上递增 而当x 充分接近0时h(x)<0， 当 x充分大时h(x)>0， 如图，由题意得： h(x) 极大值 =h(1)=m-7>0 h(x)极小值 =h(3)=6ln3+m-15< 本文来源：https://www.dywdw.cn/4bc81c01e75c3b3567ec102de2bd960590c6d9a2.html
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2023-03-17
