【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《【教学随笔】平面向量中的数学思想》，欢迎阅读！
平面向量中的数学思想 一、函数方程思想：主要体现在向量的共线定理，平面向量的基本定理的坐标表示，向量的平行与垂直的位置关系上。 例1 如果向量=i+2j, =i+mj其中i , j分别是x轴,y轴正方向上的单位向量， 试确定实数m的值，使三点A、B、C三点共线。 解法一：A、B、C三点共线，即,共线 存在实数，使=，即i-2j=(i+mj)于是 解得 m=-2 故当m=-2时，A、B、C三点共线. 解法二：依题意知i=(1,0),j=(0,1) 则=(1,0)-2 (0,1)=(1,-2), =(1,0)+m(0,1)=(1,m) 而，共线，所以1·m-1·(-2)=0,即m=-2 故当m=-2时，A、B、C三点共线。 例2 已知a,b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角。 解：设a,b的夹角为θ,∵a+3b垂直于7a-5b，a-4b垂直于7a-2b ∴ 即 22②－①得23b-46a·b=0 ∴2a·b=b 22带入①得：a=b ∴ |a|=|b| ∴cosθ=== ∴θ= 二、转化化归思想：将几何问题代数化，代数问题几何化，为问题的解决带来方便，这无形的体现了转化（化归）的数学思想。 例3 已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正半轴上，则向量2+3+的坐标为＿＿＿. 解：在题设的直角坐标系下，有A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1） 易得=（1，0），=（0，1），=（1，1） 则2+3+=（2，0）+（0，3）+（1，1）=（3，4） 例4 画出平行四边形，给出下列向量等式以几何解释（其中a,b不共线）. 222222(1) (a+b)+(a-b)=2a+2b (2) (a+b)-(a-b)=4ab 解：以a,b为邻边作平行四边形ABCD，取=a，=b, 则= a+b,= a-b,于是可得到下面的几何解释是： （1） 平行四边形对角线的平方和等于它的各边的平方和。 （2） 平行四边形对角线的平方差等于它的两邻边与它们夹角余弦积的4倍。 三 分类讨论思想：在不能具体确定的情况下，要对不同的情况进行分类讨论。 例5 已知在R△ABC中，=（2，3），=（1，K），求K值。 解：（1）当∠A=时，有·=0 ∴2×1+3K=0 即K=- （2）当∠B=时，=-=（-1，K-3）·=0 ∴2×（-1）+3（K-3）=0 ∴K= (3)当∠C=时，有·=0 ∴-1+K（K-3）=0 2即K-3K-1=0 ∴K=。综上所述，K=-，，。 例6 已知A（-1，1），B（-2，0），C为线段AB的定比分点，且|AC|=|CB|，求C点坐标。 解：设点C的坐标为（X，Y），则 （1）当C为AB内分点时，= ∴ ∴C点的坐标为（，）； （2）当C为AB 的外分点时，=－ ∴ ∴C点的坐标为（，）。 四 数形结合思想：利用平面向量的加减法的几何意义，即向量运算的平行四边形法则和三角形法则是解决问题的有效途径。 例7 如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点，PFCE是矩形。 求证：（1）|PA|=|EF| （2）PA⊥EF 证明：以D为坐标原点，DC所在直线为X轴建立直角坐标系，设正方形的边长为1，、|DP|=，则A（0，1），P（，），E（1，），F（，0） ∴=（-，1-），=（-1，-） （1）||== ||== ∴||=|| (2) ·=(-)·(-1)+( 1-)·(-) =-·(-1+1-)= -·0=0 ∴⊥ 即PA⊥EF 例8 如图：OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且=x+y.（1）求x的取值范围。（2）当x=-时，求y的取值范围。 解：（1）如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且=x+y.由向量加法的平行四边形法则知x∈（-∞，0）。 （2）依题意，∥∴=1+2,且0＜1＜1 ，2＞0 即=1+2=1+2（—）=（1+2）-2 ① 由已知= x+y ②。比较①②知x=-2＜0,y=1+2,当x=-时，2=。 0＜1＜1 ∴＜1+2＜ 即y∈（,）. 本文来源：https://www.dywdw.cn/496aaae4a9956bec0975f46527d3240c8547a16b.html
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2023-04-11
