(黄冈名师)高考数学大一轮复习核心素养提升练五十五 10.9 圆锥曲线中的最值与范围问题理(含解

2022-05-12 13:29:59 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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核心素养提升练五十五

圆锥曲线中的最值与X围问题

(30分钟 60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.过直线y=2x+3上的点作圆x+y-4x+6y+12=0的切线,则切线长的最小值为

( )

2

2

A.B.2C.D.

2

2

【解析】选A.在直线y=2x+3上任取一点P(x,y),作圆的切线,设切点为M.圆x+y-4x+6y+12=0即

(x-2)+(y+3)=1,

2

2

圆心为C(2,-3),半径为r=1,切线长为

=

所以切线长的最小值为

,|PC|min=

=

.

=2,

2.已知动点P(x,y)在椭圆|A.

|的最小值是 ( ) B.

C.2D.3

+=1上,若A点坐标为(3,0),||=1,且·=0,则

【解析】选B.由||=1可知点M的轨迹为以点A为圆心,1为半径的圆,

过点P作该圆的切线PM,则|PA|=|PM|+|AM|, 得|PM|=|PA|-1, 所以要使得|此时|

|的值最小,则要

.

- 1 - / 12 的值最小,而

的最小值为a-c=2,

2

2

2

2

2

|的值最小为

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3.(2018·某某模拟)若直线l过抛物线C:y=4x的焦点F交抛物线C于A,B两点,则

2

+

A.{1}B.(0,1]

的取值X围为 ( )

C.[1,+∞)D.,1

2

【解析】选A.抛物线C:y=4x的焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.设过点F的直线l的斜率k存在,则直线的方程为y=k(x-1).代入抛物线方程,得k(x-1)=4x,化简得kx-(2k+4)x+k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1.根据抛物线性质可知, |AF|=x1+1,|BF|=x2+1,

22

2

2

2

2

所以+=+==1.当直线l的斜率不存在时,直

线的方程为x=1,把x=1代入y=4x得y=±2,所以

2

+=1.

4.(2018·某某模拟)设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)+y=1和(x-4)+y=1

( )

2222

上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为 A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12

【解析】选C.如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接PA,PB分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2R=8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为8,12.

【变式备选】如果方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值X- 2 - / 12

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围是 ( )

A.3 B.m>

C.3D.

【解析】选D.由椭圆方程可知m-3>4-m>0,所以

5.(2018·某某模拟)抛物线y=12x上的点与直线3x-y+5=0的最近距离为

( )

2

A.B.C.D.

【解析】选B.抛物线上的点到直线的距离

d==[(y-2)+16]≥

2

=.当且仅当y=2时,等号成立.

【一题多解】本题还可以采用以下方法:

选B.如图,若将直线3x-y+5=0平移,则移到刚好与抛物线y=12x相切时,切点到直线的距离最小.

设与3x-y+5=0平行的切线为3x-y+t=0,(t≠5) 代入抛物线方程得y-4y+4t=0, Δ=16-16t=0,所以t=1,

2

2

所以最近距离d==.

二、填空题(每小题5分,共15分)

- 3 - / 12

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