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因式分解的一点补充——十字相乘法 x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q). 练习1：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48； 3．x4-7x2+18； 4．x2-5xy+6y2。 答：1．-（x+3）（x-5）； 2．（x+y-12）（x+y+4）； 3．（x+3）（x-3）（x2+2）； 4．（x-2y）（x-3y）。 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 练习2 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1 c1 a2 × c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 练习3 把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 × -5 2×（-5）+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。 解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 1 × 5 可编辑范本 1×5+1×（-3）=2 所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。 练习4 把5x2+6xy-8y2分解因式。 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 × -4 1×（-4）+5×2=6 解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。 练习5 把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。 问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？ 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。 解 （x-y）（2x-2y-3）-2 =（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2 =2（x-y）2-3（x-y）-2 2 × +1 =［（x-y）-2］［2（x-y）+1］ 1×1+2×（-2）=-3 =（x-y-2）（2x-2y+1）。 指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。 课堂练习 1．用十字相乘法因式分解： （1）2x2-5x-12；（2）3x2-5x-2；（3）6x2-13x+5；（4）7x2-19x-6； （5）12x2-13x+3；（6）4x2+24x+27。 2．把下列各式因式分解： （1）6x2-13x+6y2；（2）8x2y2+6xy-35；（3）18x2-21xy+5y2；（4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。 作业 1．用十字相乘法分解因式： （1）2x2+3x+1； （2）2y2+y-6； （3）6x2-13x+6； （4）3a2-7a-6； （5）6x2-11xy+3y2； （6）4m2+8mn+3n2； （7）10x2-21xy+2y2； （8）8m2-22mn+15n2。 2．把下列各式分解因式： （1）4n2+4n-15； （2）6a2+a-35； （3）5x2-8x-13； （4）4x2+15x+9； （5）15x2+x-2； （6）6y2+19y+10； （7）20-9y-20y2； （8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。 答案：1．（1）（x-4）（2x+3）；（2）（x-2）（3x+1）；（3）（2x-1）（3x-5）；（4）（x-3）（7x+2）； （5）（3x-1）（4x-3）； （6）（2x+3）（2x+9）。2．（1）（2x-3y）（3x-2y）； （2）（2xy+5）（4xy-7）； （3）（3x-y）（6x-5y）；（4）（3a-b）（5b-a）。 答案： 1．（1）（2x+1）（x+1）； （2）（y+2）（2y-3）； （3）（2x-3）（3x-2）； （4）（a-3）（3a+2）； （5）（2x-3y）（3x-y）； （6）（2m+n）（2m+3n）； （7）（x-2y）（10x-y）； （8）（2m-3n）（4m-5n）。 2．（1）（2n-3）（2n+5）； （2）（2a+5）（3a-7）； 可编辑范本 （3）（x+1）（5x-13）； （4）（x+3）（4x+3）； （5）（3x-1）（5x+2）； （6）（2y+5）（3y+2）； （7）-（4y+5）（5y-4）； （8）（x+2y+3）（7x-10y-27）。 可编辑范本 本文来源：https://www.dywdw.cn/09c5322c988fcc22bcd126fff705cc1754275ffc.html
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2022-05-02
