高中等比数列总结

2023-01-24 12:09:15 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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等比数列,高中,总结

等比数列

1. 等比数列的定义：2. 通项公式：

ana1qn1

a1n

qABna1q0,AB0， q

an

qq0n2,且nN*，q称为公比 an1

首项：a1；公比：q

推广：anamqnm.......从而得qnm

ana或qnmn amam

3. 等比中项

（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A2ab或Aab

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为

相反数）

（2）数列an是等比数列an2an1an1

4. 等比数列的前n项和Sn公式： (1) 当q1时， Snna1 (2) 当q1时，Sn

a11qn1q





a1anq

1q

a1a

1qnAABnA'BnA'（A,B,A',B'为常数） 1q1q

5. 等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有an1qan或

an1

q(q为常数，an0){an}为等比数列 an

（2）等比中项：an2an1an1（an1an10）{an}为等比数列（3）通项公式：anABnAB0{an}为等比数列

（4）前n项和公式：SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'为常数{an}为等比数列

6. 等比数列的证明方法依据定义：若

an

qq0n2,且nN* an1

an1qan

an2an1an1{an}为等比数列

7. 注意

（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、

q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；ana1qn1

aa

如奇数个数成等比，可设为…，2,,a,aq,aq2…（公比为q，中间项用a表示）；

qq

8. 等比数列的性质 (1) 当q1时

①等比数列通项公式ana1qn1为公比q ②前n项和Sn

a1n

qABnAB0是关于n的带有系数的类指数函数，底数q

a11qn1q

a1a1qna1a

系数和常数项是互为相1qnAABnA'BnA'，

1q1q1q

反数的类指数函数，底数为公比q

(2) 对任何m,nN*,在等比数列{an}中,有anamqnm,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3) 若m+n=s+t (m, n, s, tN*),则anamasat.特别的,当n+m=2k时,得anamak2 注：a1ana2an1a3an2

ak

(4) 列{an},{bn}为等比数列,则数列{},{kan},{ank},{kanbn}{n} (k为非零常数) 均为等

bnan

比数列.

(5) 数列{an}为等比数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列 (6) 如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列 (7) 若{an}为等比数列,则数列Sn，S2nSn，S3nS2n,，成等比数列

(8) 若{an}为等比数列,则数列a1a2an, an1an2a2n, a2n1a2n2a3n成等比数列

(9) ①当q1时，

a10，则{an}为递增数列

a10，则{an}为递减数列

{

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